01-01-2024 Maths
अभ्यास 2.2
प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0 (ii) x = –1 (iii) x = 2
हल:
(i) p(x) = 5x - 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) - 4(0)2 + 3
= 0 - 0 + 3
= 3
अत: बहुपद का मान 3 है |
(ii) p(x) = 5x - 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) - 4(-1)2 + 3
= - 5 - 4 + 3
= - 9 + 3
= - 6
अत: बहुपद का मान - 6 है |
(iii) p(x) = 5x - 4x2 + 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) - 4(2)2 + 3
= 10 -16 + 3
= - 3
अत: बहुपद का मान - 3 है |
Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए |
(i) p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t 2 – t 3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y2 - y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)2- 0 + 1
=1
P(1) के लिए
P(1) = (1)2- 1 + 1
= 1 - 1 + 1
= 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)2- 2 + 1
= 4 - 2 + 1
= 3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t2- t3
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)2- (0)3
= 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)2 - (1)3
= 4
P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)2- (2)3
= 4 + 8 - 8
= 4
(iii) p(x) = x3
P(0) के लिए
P(0)=(0)3 =0
P(1) के लिए
P(1)=(1)3 =1
P(2) के लिए
P(2)=(2)3=8
(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0)= (0-1) (0+1)=(-1) (1) =-1
P(1) के लिए
P(1)= (1-1) (1+1) =0(1) =0
P(2) के लिए
P(2)= (2-1) (2+1)=1(3) =3
Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :
हल:
(i) P(x) = 3x + 1
p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x - π
= 5 - π
∵ P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है |
(iii) P(x) = x2 - 1
Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए : (ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i) P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = - 5
बहुपद का शुन्यक - 5 हैं |
हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5 = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है |
बहुपद का शुन्यक - 5/2 है |
(iv) P(x) = 3x - 2
3x - 2 = 0 ≠
बहुपद का शुन्यक 2/3 है |
प्रश्नावली 13. 1
Q1. 1.5 m लंबा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धरित कीजिएः
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m2 शीट का मूल्य 20 रुपए है।
Solution:
प्लास्टिक के डब्बे की लंबाई (l) = 1.5 m
चौड़ाई (d) = 1.25 m
ऊँचाई (h) = 65 cm = 0.65 m
आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल = 2h(l + b) + lb
= 2 × 0.65(1.5 + 1.25) + 1.5 × 1.25
= 1.30(2.75) + 1.875
= 3.575 + 1.875
= 5.45 m2
शीट का मूल्य = 20 × 5.45
= 108.00 रुपये
Q2. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 m, 4 m और 3 m हैं। 7.50 रुपए प्रति
m2 की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution:
कमरे की लंबाई (l) = 5 m
चौड़ाई (b) = 4 m
ऊँचाई (h) = 3 m
कमरे की दीवारों और छत का क्षेत्रफल = 2h(l + b) + lb
= 2 × 3 (5 + 4) + 5 × 4
= 6 × 9 + 20
= 54 + 20
= 74 m2
सफेदी कराने का व्यय = 74 × 7.50 = 555 रुपये |
Q3. किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि 10 रुपए प्रति m2 की दर से
चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत 15000 रुपए है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
[ संकेत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ]
Solution:
आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप = 250 m
पेंट करने की दर = 10 रुपए प्रति m2
पेंट कराने की लागत = 15000 रुपये |
हम जानते है कि;
क्षेत्रफल × दर = लागत
क्षेत्रफल × 10 = 15000
अत: धनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1500 m2
अब, 2(l + b) × h = धनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
या, आधार का परिमाप × ऊचाई = धनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
250 × h = 1500
अत: हॉल की ऊँचाई = 6 m
Q4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m2 के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस
डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं ?
Solution:
ईंट की लम्बाई (l) = 22.5 cm
चौड़ाई (b) = 10 cm
ऊँचाई (h) = 7.5 cm
ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + lh)
= 2(22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 22.5 × 7.5)
= 2( 225 + 75 + 168.75)
= 2 × 468.75 = 937.5 cm2
Q5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लंबाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm हैं।
(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
Solution:
(i) घनाकार डिब्बे के एक किनारे की लंबाई (l) = 10 cm
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4(किनारा)2
= 4(10)2
= 4 × 100 = 400 cm2
धनाभाकार डिब्बे में,
l = 12.5 cm, b = 10 cm, h = 8 cm
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l + b)
= 2 × 8(12.5 + 10)
= 16 × 22.5
= 360 cm2
चूँकि धनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है |
इसलिए,
400 cm2 – 360 cm2 = 40 cm2
(ii) धनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 40 cm2 अधिक है |
धनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2
= 6(10)2
= 6 × 100 = 600 cm2
घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)
= 2(12.5 × 10 + 10 × 8 + 12.5 × 8)
= 2 (125 + 80 + 100)
= 2 × 305
= 610 cm2
अब, 610 cm2 – 600 cm2 = 10 cm2
अत: धनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 10 cm2 कम है |
Q6. एक छोटा पौध घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधर भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लंबा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
Solution:
पौध घर की लंबाई (l) = 30 cm
चौड़ाई (b) = 25 cm
ऊँचाई (h) = 25 cm
प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)
= 2(30 × 25 + 25 × 25 + 30 × 25)
= 2(750 + 625 + 750)
= 2 × 2125 cm2
= 4250 cm2
12 किनारों के लिए टेप की लंबाई = 4 (l + b + h)
= 4 (30 + 25 + 25)
= 4 × 80 cm
= 320 cm
Q7. शांति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बों की माप 15 cm × 12 cm × 5 cm थीं। सभी प्रकार की अतिव्यापिकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत 4 रुपए प्रति 1000 cm2 है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
Solution:
बड़े डिब्बे में,
l = 25 cm, b = 20 cm, h = 5 cm
बड़े डिब्बे की कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)
= 2(25 × 20 + 20 × 5 + 25 × 5)
= 2 (500 + 100 + 125)
= 2 × 725 cm2
= 1450 cm2
छोटे डिब्बे में,
l = 15 cm, b = 12 cm, h = 5 cm
डिब्बे डिब्बे की कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)
= 2(15 × 12 + 12 × 5 + 15 × 5)
= 2 (180 + 60 + 75)
= 2 × 315 cm2
= 630 cm2
दोनों डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1450 cm2 + 630 cm2
= 2080 cm2
दोनों प्रकार के कुल 250 डिब्बों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 × 2080 cm2
= 520000 cm2
कुल गत्तों में अतिव्यापिकता (overlaps) = 520000 का 5%
= 520000 × 5/100 cm2
= 26000 cm2
ख़रीदा गया कुल गत्तों का क्षेत्रफल = 520000 cm2 + 26000 cm2
= 546000 cm2
4 रुपए प्रति 1000 cm2 की दर से लागत = 546000 × 4/1000
= 2184 रुपये |
Q8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर × 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
Solution:
ढाँचे की लंबाई (l) = 4 m
चौड़ाई (b) = 3 m
ऊँचाई (h) = 2.5 m
तिरपाल के ढाँचे का क्षेत्रफल = 2h(l + b) + lb
= 2 × 2.5 (4 + 3) + 4 × 3
= 5 × 7 + 12
= 35 + 12
= 47 m2