03-01-2024 Maths
प्रश्नावली 2.3
Q1. x3 + 3x2 + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x + 1
(ii) x - ½
(iii) x
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x
हल : (i) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर
अत: भाग देने पर शेषफल 0 है | Ans.
हल : (iii) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x से भाग देने पर
अत: भाग देने पर शेषफल 1 है | Ans.
हल : (iv) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर
अत: भाग देने पर शेषफल - π3 + 3π2 - 3π + 1 है | Ans.
हल : (v) x3 + 3x2 + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर
Q2. x3 - ax2 + 6x - a को x - a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x3 - ax2 + 6x - a और g(x) = x - a है |
g(x) = x - a का शुन्यक
अत: x - a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x - a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)3 - a(a)2 + 6(a) - a
= a3 - a3 + 6a - a
= 5a
अत: शेषफल 5a है |
प्र्शनावली 13.8
जब तक अन्यथा न कहा जाए, मान लें ।
1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या (i) 7 सेमी और (ii) 0.63 सेमी है।
उत्तर (i) गोले की त्रिज्या 
= 7 सेमी
गोले का आयतन =
== 
_
= 
सेमी 3
(ii) गोले की त्रिज्या = 0.63 मीटर
गोले का आयतन =
=
=
= 1.047816 मीटर 3 = 1.05 मीटर 3 (लगभग)
2. व्यास की एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा ज्ञात कीजिए:
(i) 28 सेमी
(ii) 0.21 मी
उत्तर. (i) गोलाकार गेंद का व्यास
= 28 सेमी
गोलाकार गेंद की त्रिज्या =
= 14 सेमी
प्रश्न के अनुसार, बदले गए पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन
=
== 
_
= 
सेमी 3
(ii) गोलाकार गेंद का व्यास = 0.21 मीटर
गोलाकार गेंद की त्रिज्या
= 
एम
प्रश्न के अनुसार,
बदले गए पानी का आयतन = गोलाकार गेंद का आयतन
=
=
=
=
= 0.004851 मीटर 3
3. एक धातु की गेंद का व्यास 4.2 सेमी है। यदि धातु का वजन 8.9 ग्राम प्रति सेमी 3 है तो गेंद का द्रव्यमान क्या है ?
उत्तर. धातु की गेंद का व्यास = 4.2 सेमी
धातु की गेंद की त्रिज्या =
= 2.1 सेमी
धातु की गेंद का आयतन =
=
=
= 38.808 सेमी 3
धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति सेमी 3
1 सेमी 3 का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
38.808 सेमी 3 का द्रव्यमान = 8.9 x 38.808
= 345.3912 ग्राम = 345.39 ग्राम (लगभग)।
4. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का कितना अंश है?
उत्तर. माना पृथ्वी का व्यास है
पृथ्वी की त्रिज्या =
अब, पृथ्वी का आयतन =
[ पृथ्वी को एक गोला माना जाता है]
= 
= 
……..(i)
प्रश्न के अनुसार,
चंद्रमा का व्यास = 
x पृथ्वी का व्यास =
चंद्रमा की त्रिज्या (R) =
अब, चंद्रमा का आयतन =
[ चंद्रमा को एक गोला माना जाता है]
== 
_
= 
x पृथ्वी का आयतन
[इकाई से. (मैं)]
चंद्रमा का आयतन 
पृथ्वी का आयतन है।
5. 10.5 व्यास वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
उत्तर. अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास
= 10.5 सेमी
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या
= 
= 5.25 सेमी
अर्धगोलाकार कटोरे में दूध का आयतन
=
=
=
= 
= 303.187 सेमी 3
= 
लीटर
= 0.303187 लीटर
= 0.303 लीटर (लगभग)
6. एक अर्धगोलाकार टैंक 1 सेमी मोटी लोहे की चादर से बना है। यदि आंतरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो टैंक बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर. अर्धगोलाकार टैंक की आंतरिक त्रिज्या = 1 मीटर = 100 सेमी
शीट की मोटाई = 1 सेमी
अर्धगोलाकार टैंक की बाहरी त्रिज्या (R) = 100 + 1 = 101 सेमी
गोलार्ध के लोहे का आयतन
=
=
=
= 63487.81 सेमी 3
= 0.06348 मीटर 3
7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी 2 है ।
उत्तर. गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सेमी 2
= 154
=
सेमी
अब, गोले का आयतन
=
=
= 
= 
= 
सेमी 3
8. एक इमारत का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसे रुपये की लागत से सफेद किया गया था। 498.96. यदि सफेदी की लागत रु. 2.00 प्रति वर्ग मीटर, खोजें:
(i) गुंबद का आंतरिक सतह क्षेत्र।
(ii) गुंबद के अंदर हवा का आयतन।
उत्तर. अंदर से सफ़ेदी करने की लागत = रु. 498.96
सफेदी की दर = रु. 2
क्षेत्र को सफेद किया गया
= 
= 249.48 सेमी 2
गुम्बद का आंतरिक सतह क्षेत्र
= 249.48 सेमी 2
249.48
= 5.67 x 7
6.3
तो, गुंबद का आयतन
== _
= 523.9 सेमी 3
9. सत्ताईस ठोस लोहे के गोले, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या और सतह क्षेत्र S है, को पिघलाकर सतह क्षेत्र S' वाला एक गोला बनाया जाता है। खोजें:
(i) नये गोले की त्रिज्या ।
(ii) एस और एस' का अनुपात।
उत्तर. (i) माना गोले की त्रिज्या है और नये गोले की त्रिज्या R है।
27 x गोले का आयतन = नए गोले का आयतन
27 x =
= आर
= आर
(ii) 
=
= 
= = 
=
10. दवा का एक कैप्सूल 3.5 मिमी व्यास वाले गोले के आकार का है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवा (मिमी 3 में) की आवश्यकता है?
उत्तर. गोलाकार कैप्सूल का व्यास = 3.5 मिमी
गोलाकार कैप्सूल की त्रिज्या
= 
= 
= 
मिमी
कैप्सूल भरने के लिए दवा की आवश्यकता है
= गोले का आयतन =
=
= 
= 
मिमी 3
= 22.46 मिमी 3 (लगभग)