05-01-2024 Maths
प्रश्नावली 2.4
Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है |
(i) x3 + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 - x3 - (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
=> x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= - 1 + 1 - 1 + 1
= 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
हल : (ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
=> x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1
= 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
हल : (iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
=> x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
= 1 - 3 + 3 - 1 + 1
= 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
=> x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक => x + 1 = 0
अत: x = - 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 - 1
= - 2 + 1 + 2 - 1
= 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
हल : (ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक => x + 2 = 0
अत: x = - 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 दिया है |
अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 - 6 + 1
= 13 - 14
= - 1
चूँकि p(-2) = - 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |
हल : (iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक => x - 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 दिया है |
अब, p(3) = (3)3 - 4(3)2 + 3 + 6
= 27 - 36 + 3 + 6
= 36 - 36
= 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x - 3 p(x) का एक गुणनखंड है |
Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
हल : (i) p(x) = x2 + x + k
x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x - 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x2 + x + k = 0
p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = - 2
हल : (ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x - 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0
2 + k + √2 = 0
k = - 2 - √2
k = - (2 + √2)
हल : (iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x - 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)2 - √2(1) + 1 = 0
k - √2 + 1 = 0
k = √2 - 1
हल : (iv) p(x) = kx2 – 3x + k
चूँकि x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x - 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – 3x + k = 0
p(1) = k(1)2 - 3(1) + k = 0
k - 3 + k = 0
2k - 3 = 0
2k = 3
k = 3/2
Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
हल : (i) 12x2 – 7x + 1
=> 12x2 - 3x - 4x + 1
=> 3x(4x - 1) - 1(4x - 1)
=> (4x - 1) (3x - 1)
हल : (ii) 2x2 + 7x + 3
=> 2x2 + 6x + x + 3
=> 2x(x + 3) + 1(x + 3)
=> (x + 3) (2x + 1)
हल : (iii) 6x2 + 5x – 6
=> 6x2 + 9x - 4x - 6
=> 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)
=> (2x + 3) (3x - 2)
हल : (iv) 3x2 – x – 4
=> 3x2 - 4x + 3x - 4
=> x(3x - 4) + 1(3x - 4)
=> (3x - 4) (x + 1)
Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
हल : (i) x3 – 2x2 – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं - ±1 और ±2
अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)3 - 2(1)2 - (1) + 2
= 1 - 2 - 1 + 2
= 0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x - 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
पहली विधि : x - 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर
अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x - 1) (x2 - x - 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)
= (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]
= (x - 1) (x - 2) (x + 1)
नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |
दूसरी विधि : हम यहाँ पर x - 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x - 1 प्राप्त है |
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) - x2 - x + 2
= x2(x -1) - x(x - 1) - 2x + 2
= x2(x -1) - x(x - 1) - 2(x - 1)
= (x - 1) (x2 - x - 2)
= (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)
= (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]
= (x - 1) (x - 2) (x + 1)
तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, - 1, 2 और - 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x - 1 एक गुणनखंड है |
अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-1)3 - 2(-1)2 -(-1) + 2
= -1 - 2 + 1 + 2
= 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |
अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (2)3 - 2(2)2 -(2) + 2
= 8 - 8 - 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x - 2 p(x) का एक गुणनखंड है |
अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-2)3 - 2(-2)2 -(-2) + 2
= -8 - 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: - 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत: x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x - 1) (x + 1) (x - 2) उत्तर
हल : (ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5
= (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9
= 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) - 4x2 - 9x - 5
= x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5x - 5
= x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1)
= (x + 1) (x2 - 4x - 5)
= (x + 1) (x2 - 5x + x - 5)
= (x + 1) [x(x - 5) +1(x - 5)]
= (x + 1) (x - 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x - 5) और (x + 1) है |
हल : (iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = - 1 रखने पर
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
= (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20
= -1 + 13 + - 32 + 20
= 33 - 33
= 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है |
हल : (iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y2 - 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y - 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y - 1) और (2y + 1)हैं |
प्रश्नावली 1.3
Q1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
Solution:
Solution:
और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है अर्थात ये सह-अभाज्य संख्याएं हैं और इनका सांत दशमलव प्रसार है |
सांत दशमलव प्रसार के लिए q का अभाज्य गुणनखंड 2n या 5n या 2m × 5n के रूप का होना चाहिए |
Q7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों |
हल : सभी अपरिमेय संख्याएँ अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार देती है | इसलिए
तीन उदाहरण हैं –
√2, √3, √5 आदि |
अर्थात 0.714285 ……. और 0.81818181… के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ हैं |
(i) 0.72010010001……
(ii) 0.751121231234……..
(iii) 0.80145672434890………
Q9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं |
(i) √23
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(ii) √225 = 15
हल : परिमेय संख्या है |
(iii) 0.3796
हल : परिमेय सख्या है |
(iv) 7.478778 ....
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(v) 1.101001000100001…..
हल : अपरिमेय संख्या हैं |